线性代数

向量

向量(vectors),是一个点指向另一个点的方向

$$ \vec{AB} = B - A $$

任何表示的长度为1个单位的向量我们称为单位向量，等于向量/向量的长度

$$ \hat{AB} = \vec{AB}/||\vec{AB}|| $$

向量相加

将向量引入到坐标系中表示为

$$
\vec{a} = \begin{pmatrix} x \ y \ \end{pmatrix}
\qquad
\vec{a}^T = \begin{pmatrix} x & y \ \end{pmatrix}
\qquad
||\vec{a}|| = \sqrt{x^2+y2}
$$

向量的乘法

• 向量的点乘
  $$ \vec{a} . \vec{b} = ||\vec{a}||||\vec{b}||cos\theta $$
  这可以帮助我们快速的确定两个向量之间的夹角$cos\theta$
  $$ cos\theta = \hat{a}.\hat{b} $$
  作用：

1. 当点乘结果逐渐趋向1时，我们可以知道这两个向量的方向越接近
2. 当点乘结果为0时，我们可以知道这两个向量的方向互相垂直
3. 当点乘结果逐渐趋向-1时，我们可以知道这两个向量的方向相反

它满足运算的交换率，与结合率
$$ \vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \qquad \vec{a} . (\vec{b}+\vec{c}) =\vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c} $$

• 向量的叉乘
  $$ \vec{a} \times \vec{b} = ||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||\vec{a}||||\vec{b}||sin\phi$$

在三维坐标系中(右手坐标系中)
$$ \vec{x} \times \vec{y} = +\vec{z}
$$

叉乘没有交换率
$$ \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}
$$

作用:

1. 利用向量叉乘我们可以判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧
2. 可以判断一个点在一个多边形点内侧还是外侧

矩阵

矩阵的乘积

必须满足$(M \times N)(N \times P) = (M \times P)$

矩阵的乘积的结果中的单个目标等于矩阵A的行与矩阵B的列的元素分别相乘在并将元素相加
$$
\begin{pmatrix}
a1 & a2\
b1 & b2\
c1 & c2\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A1 & A2\
B1 & B2\
\end

\begin{pmatrix}
a1 \times A1 + a2 \times B1 & a1 \times A2 + a2 \times B2\ b1 \times A1 + b2 \times B1 & b1 \times A2 + b2 \times B2\ c1 \times A1 + c2 \times B1 & c1 \times A2 + c2 \times B2\ \end{pmatrix}
$$

只有对角线为1，其他元素为0对矩阵为单位矩阵
$$
I_{3 \times 3}

\begin{pmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1\
\end{pmatrix}
$$

向量的点乘

$$
\vec{a}.\vec

\vec{a}^T\vec

\begin{pmatrix} x_a&y_a&z_a \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_b \ y_b \ z_b \end

(x_ax_b+y_zy_b+z_az_b)
$$

向量的叉乘

$$
\vec{a} \times \vec

\begin{pmatrix}
0 & -z_a & y_a \
z_a & 0 & -x_a \
-y_z & x_z & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_b \ y_b \ z_b \end{pmatrix}
$$

矩阵的变换

• 缩放(scale)
  $$
  SA

  \begin{pmatrix}
  s_x & 0 & 0\
  0 & s_y & 0 \
  0 & 0 & s_z
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}
  $$

• 切变(shear)
  $$
  SA

  \begin{pmatrix} 1 & s_y \ s_x & 1 \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}
  $$

• 旋转(Retition)
  $$
  R_\theta

  \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}
  $$
  $$
  R^-_\theta

  \begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta \ -sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}
  $$

奇次坐标

在平移变换中我们无法使用线性变换的法制进行转换
$$
TA =
\begin{pmatrix}a & b \ c & d \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x \ y \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}t_x\ t_y \end{pmatrix}
$$
这时我们添加一个坐标 w 用来将它同化为线性变换

$$
TA =
\begin{pmatrix}1 & 0 & t_x\ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x \ y \ w\end

\begin{pmatrix}x+xt_x\ y+yt_y \ w^2\end{pmatrix}
$$
当$w \neq 0$时这是点坐标
$$
P = \begin{pmatrix}x / w & y / w & 1 \end{pmatrix}
$$

当$w = 0$时这是向量
$$
V = \begin{pmatrix}x & y & 0 \end{pmatrix}
$$

奇次坐标在三维中的转换

$$
\begin{pmatrix} x^\prime \ y^\prime \ z^\prime \ w \end

\begin{pmatrix}
a & b & c & t_x \
d & e & f & t_y \
g & h & i & t_z \
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
.
\begin{pmatrix} x \ y \ z \ w \end{pmatrix}
$$

Scale

$$
S(s_x,s_y,s_z)

\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0 \
0 & s_y & 0 & 0 \
0 & 0 & s_z & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

Translation
$$
T(t_x,t_y,t_z)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \
0 & 1 & 0 & t_y \
0 & 0 & 1 & t_z \
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

Rotation

$$
R_x(\theta)

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \
0 & sin\theta & cos\theta & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
R_y(\theta)

\begin{pmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
-sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
R_z(\theta)

\begin{pmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \
sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

罗德里格斯公式

$$
R(n,\alpha)=
cos(\alpha)I +
(1-cos(\alpha))nn^T +
sin(\alpha)N
$$
其中
$$
n = 旋转的轴向量（过原点）
\qquad
\alpha = 旋转的角度
$$
$$
n^T = n的转置
\qquad
N =
\begin{pmatrix}
0 & -n_z & n_y \
n_z & 0 & -n_x \
-n_y & n_x & 0
\end{pmatrix}
\qquad
I = 单位矩阵
$$