线性代数

向量

向量(vectors),是一个点指向另一个点的方向

$$\vec{AB} = B - A$$

任何表示的长度为1个单位的向量我们称为单位向量，等于向量/向量的长度

$$\hat{AB} = \vec{AB}/||\vec{AB}||$$

向量相加

将向量引入到坐标系中表示为

$$\vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \qquad \vec{a}^T = \begin{pmatrix} x & y \\ \end{pmatrix} \qquad ||\vec{a}|| = \sqrt{x^2+y^2}$$

向量的乘法

• 向量的点乘

$$\vec{a} . \vec{b} = ||\vec{a}||||\vec{b}||cos\theta$$

这可以帮助我们快速的确定两个向量之间的夹角$cos\theta$

$$cos\theta = \hat{a}.\hat{b}$$

作用:

1. 当点乘结果逐渐趋向1时，我们可以知道这两个向量的方向越接近
2. 当点乘结果为0时，我们可以知道这两个向量的方向互相垂直
3. 当点乘结果逐渐趋向-1时，我们可以知道这两个向量的方向相反

它满足运算的交换率，与结合率

$$\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} \qquad \vec{a} . (\vec{b}+\vec{c}) =\vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c}$$

• 向量的叉乘

$$\vec{a} \times \vec{b} = ||\vec{a} \times \vec{b}|| = ||\vec{a}||||\vec{b}||sin\phi$$

在三维坐标系中(右手坐标系中)

$$\vec{x} \times \vec{y} = +\vec{z}$$

叉乘没有交换率

$$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$$

作用:

1. 利用向量叉乘我们可以判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧
2. 可以判断一个点在一个多边形点内侧还是外侧

矩阵

矩阵的乘积

必须满足$(M \times N)(N \times P) = (M \times P)$

矩阵的乘积的结果中的单个目标等于矩阵A的行与矩阵B的列的元素分别相乘在并将元素相加

$$\begin{pmatrix} a1 & a2\\ b1 & b2\\ c1 & c2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A1 & A2\\ B1 & B2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a1 \times A1 + a2 \times B1 & a1 \times A2 + a2 \times B2\\ b1 \times A1 + b2 \times B1 & b1 \times A2 + b2 \times B2\\ c1 \times A1 + c2 \times B1 & c1 \times A2 + c2 \times B2\\ \end{pmatrix}$$

只有对角线为1，其他元素为0对矩阵为单位矩阵

$$I_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix}$$

向量的点乘

$$\vec{a}.\vec{b} = \vec{a}^T\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a&y_a&z_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = (x_ax_b+y_zy_b+z_az_b)$$

向量的叉乘

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_z & x_z & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$$

矩阵的变换

• 缩放(scale)

$$SA = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

• 切变(shear)

$$SA = \begin{pmatrix} 1 & s_y \\ s_x & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

• 旋转(Retition)

$$R_\theta = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$$

$$R^-_\theta = \begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$$

奇次坐标

在平移变换中我们无法使用线性变换的法制进行转换

$$TA = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}t_x\\ t_y \end{pmatrix}$$

这时我们添加一个坐标 w 用来将它同化为线性变换

$$TA = \begin{pmatrix}1 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+xt_x\\ y+yt_y \\ w^2\end{pmatrix}$$

当$w \neq 0$时这是点坐标

$$P = \begin{pmatrix}x / w & y / w & 1 \end{pmatrix}$$

当$w = 0$时这是向量

$$V = \begin{pmatrix}x & y & 0 \end{pmatrix}$$

奇次坐标在三维中的转换

$$\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$$

Scale

$$S(s_x,s_y,s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Translation

$$T(t_x,t_y,t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Rotation

$$R_x(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$R_y(\theta) = \begin{pmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$R_z(\theta) = \begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

罗德里格斯公式

$$R(n,\alpha)= cos(\alpha)I + (1-cos(\alpha))nn^T + sin(\alpha)N$$

其中

$$n = \text{旋转的轴向量（过原点）} \qquad \alpha = \text{旋转的角度}$$

$$n^T = \text{n的转置} \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix} \qquad I = \text{单位矩阵}$$